Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Get Adobe Flash player

Vyhodnocovanie rozptylu

Ak ste si po prečítaní nadpisu povedali – čo je na vyhodnocovaní rozptylu tak zložité, aby mu bol venovaný celý článok? – potom s najväčšou pravdepodobnosťou patríte práve k tým, ktorým je tento článok venovaný.

Väčšina strelcov si s vyhodnocovaním rozptylu ťažkú hlavu nerobí – zvyčajne je za rozptyl zbrane považovaný priemer kružnice, ktorej krajné body tvoria zásahy najviac vzdialené od zámerného bodu, resp. stredového zásahu. Takto vyhodnotený rozptyl je nepresný a v prípade, že ide o milimetre (či pri závodných vzduchovkách skôr o desatiny milimetra), má nízku výpovednú hodnotu – celkom spoľahlivo zistíme akurát to, či zbraň naozaj strieľa. Takto „vypočítaný“ rozptyl je tým presnejší, čím z väčšieho počtu rán ho počítame, no aj tak sa vždy len priblížime k skutočnému rozptylu. Ako ho teda vypočítať správne? K problematike sa vyjadril F. Petro.

Aby sme zistili, aká je veľká chyba, ktorá vzniká pri meraní rozptylu jednotlivými metódami, vytvoríme najprv matematický model. Ten bude náhodne generovať hodnoty v nami definovanom intervale tak, že získame virtuálne zásahy s presne stanoveným rozptylom. Vytvoríme vlastne virtuálnu zbraň, kde budeme vopred vedieť exaktne nastaviť požadovaný rozptyl, t.j. že každý výstrel z tejto zbrane dopadne na náhodnom mieste v kruhu s vopred stanoveným polomerom, ktorý označme ako R.

Generované budú hodnoty  pre polárnu súradnicovú sústavu, t.j. uhol a vzdialenosť od referenčného bodu, čo v našom prípade bude stredný zásah. Pre potreby našich výpočtov (určenia chýb pri zisťovaní hodnôt rozptylu) ich potom prevedieme do kartézskej (pravouhlej) súradnicovej sústavy:

x = sin(α) . r

y = cos(α) . r

kde r je vzdialenosť zásahu od stredu kruhu (stredného zásahu), tvoriaceho ohraničenie rozptylu a α je uhol, ktorý zviera umiestnenie zásahu voči stredu kruhu. Parameter r je náhodné číslo pohybujúce sa v intervale {0; R}, α je náhodné číslo v intervale {0; 360} (obr. č.1)

 

Generovaním náhodných hodnôt r a α  pre polárnu súradnicovú sústavu dosiahneme to, že všetky takto vygenerované zásahy sa budú nachádzať v kruhu, čo zodpovedá bežnému rozptylovému obrazcu. Tento spôsob súčasne zabezpečí, že hustota zásahov smerom od stredu k okraju sa bude znižovať, čo kopíruje situáciu pozorovanú pri reálnych rozptylových obrazcoch. Tento model určite nie je dokonalý, ale principiálne generuje výsledky, ktoré sú veľmi podobné tým, s ktorými sa stretávame v praxi.

Prostredníctvom tohoto modelu dokážeme generovať ľubovoľný počet virtuálnych výstrelov, pričom budeme poznať skutočný rozptyl a stredný zásah. Ak vyhodnotíme rozptyl týchto virtuálnych výstrelov metódami používanými pri reálnej streľbe, môžeme zistiť, do akej miery sú tieto metódy nepresné a s akou chybou je nutné počítať.

Na príklade terču s troma zásahmi si ukážeme, s akými problémami sa pri vyhodnocovaní zásahov v praxi  môžeme stretnúť (viz obr. č.2).

Modrá kružnica ohraničuje oblasť, v ktorej sa bude nachádzať každý virtuálny zásah vygenerovaný našim modelom. Je to vlastne skutočný rozptyl, ktorý však v reálnej situácii sme schopný zistiť až po vystrelení stoviek výstrelov. Jeho stred aj priemer presne poznáme, pretože sú to vstupné parametre nášho modelu. Zobrazené tri zásahy boli náhodne vygenerované naším modelom. Ak by sme rozptyl týchto troch zásahov vyhodnocovali v rámci praktickej streľby, za rozptyl by sme považovali priemer zelenej kružnice.

Všimnime si, že skutočný stredný zásah (modrý) a stredný zásah zistený z troch výstrelov (zelený) nie sú totožné. Ak by sme poznali skutočný stredný zásah, za rozptyl by sme považovali priemer červeného kruhu, t.j. dvojnásobok vzdialenosti najvzdialenejšieho zásahu od skutočného stredného zásahu.

Ale ani rozptyl znázornený červenou kružnicou ale nezodpovedá skutočnému rozptylu. Je totiž veľmi málo pravdepodobné, že pri rádovo niekoľkých výstreloch aspoň jeden bude umiestnený v blízkosti hranice skutočného rozptylu. Vznikajú tu teda dve chyby – jedna je spôsobená nesprávnym určením stredného zásahu a druhá veľmi malou pravdepodobnosťou, že aspoň jeden zásah bude umiestený na hranici rozptylu.

 

Tieto chyby boli kvantifikované na našom modeli, pričom hodnotu rozptyl sa  nastavila na 30mm. Na vyhodnotenie rozptylu sme použili šesť metód: rozptyl z 3 výstrelov (R3), najhorší rozptyl z troch sérii po 3 výstreloch (R3-3), rozptyl z 5 výstrelov (R5), najhorší rozptyl z troch sérii po 5 výstreloch (R3-5), rozptyl z 10 výstrelov (R10) a rozptyl z 15 výstrelov (R15).

Modelom bolo vygenerovaných 1000 sérií po 15-ich virtuálnych výstreloch a z každej série sa použil potrebný počet zásahov pre výpočet rozptylu jednotlivými metódami. Pre každú metódu bola vypočítaná celková chyba ako aj chyba spôsobená nesprávnym určením stredného zásahu. Nakoniec sa vypočítali priemerné hodnoty  pre všetkých tisíc sérií.

 

Metodika výpočtu

1. Chyba spôsobená nesprávnym určením stredného zásahu.

Pre každú sériu bol vypočítaný rozdiel medzi rozptylom zisteným z virtuálneho nástrelu  a rozptylom, ktorý bol stanovený ako vzdialenosť známeho stredného zásahu od najvzdialenejšieho zásahu (na obrázku č. 2 je to rozdiel priemerov červenej a zelenej kružnice). Pre absolútnu aj relatívnu chybu sa vypočítal priemer zo všetkých tisíc sérií.

2. Celková chyba

Pre každú sériu bol vypočítaný rozdiel medzi rozptylom zisteným z virtuálneho nástrelu a skutočným rozptylom, t.j. rozptylom zadaným do nášho modelu (na obrázku č. 2 je to rozdiel priemerov modrej a zelenej kružnice). Pre absolútnu aj relatívnu chybu sa vypočítal priemer zo všetkých tisíc sérií.

V oboch prípadoch pri výpočte relatívnej chyby bol ako základ použitý skutočný rozptyl, t.j. hodnota vložená do modelu (priemer modrej kružnice).

 

Výsledky sú uvedené v tabuľke č.1:

Tab. č.1 – Chyby určenia rozptylu (pre definovaný rozptyl 30mm)

Metóda Počet výstrelov v jednom  nástrele Chyba spôsobená nesprávnym určením stredného zásahu Celková chyba
absolútna [mm] relatívna absolútna [mm] relatívna
R3 3 7.9 35% 15.4 51%
R3-3 9 6.5 25% 10.7 36%
R5 5 6.4 25% 11.2 37%
R3-5 15 4.5 17% 7.4 25%
R10 10 4.2 15% 6.9 23%
R15 15 3.1 11% 5.1 17%

 

Je nutné si uvedomiť, že uvedené hodnoty predstavujú priemernú chybu. Nedá sa teda jednoznačne povedať, že ak jeden experimentálne zistený rozptyl opravíme o zodpovedajúcu chybu, dostaneme správnu hodnotu rozptylu. Uvedené hodnoty môžeme interpretovať iba ako priemernú chybu s akou bude zaťažené vyhodnotenie rozptylu pri praktickej streľbe pri použití danej metódy.

Na základe týchto výsledkov však môžeme konštatovať, že metódy, ktoré určujú rozptyl ako rozptyl najhoršej série z niekoľkých sérií, sú neefektívne (v tomto prípade to boli metódy R3-3 a R3-5). Výhodnejšie je použiť metódu, kedy je vystrelená jedna početnejšia séria,  pretože pri menšom celkovom počte výstrelov získame presnejší výsledok merania.

Graf č.1 znázorňuje vývoj závislosti veľkosti chyby od počtu vyhodnocovaných zásahov (použité hodnoty z meraní R3, R5, R10 a R15). Závislosť má priebeh veľmi podobný hyperbolickej funkcii a ako z grafu vyplýva, zvyšovane počtu zásahov nad 15 už nemá z hľadiska zmenšenia chyby zásadný význam.

V tabuľke č. 1 je uvedená relatívna chyba počítaná zo základu, ktorým je skutočný rozptyl, ten však v praxi nepoznáme. Naopak, pri praktickej streľbe zistíme rozptyl zdanlivý, zistený vyhodnotením zásahov a hľadáme rozptyl skutočný. Tabuľka č.2 uvádza hodnotu koeficientov, ktorými ak vynásobíme priemerné hodnoty zdanlivých rozptylov, získame rozptyl skutočný. Čím viac meraní bude vykonaných, tým presnejšie bude vypočítaná hodnota skutočného rozptylu.

 

Tabuľka č.2

Metóda Koeficient pre chybu spôsobená nesprávnym určením stredného zásahu Koeficient pre celkovú chybu
R3 1.54 2.04
R3-3 1.33 1.56
R5 1.33 1.59
R3-5 1.20 1.33
R10 1.18 1.30
R15 1.12 1.20

(Autor: F. Petro, publikované so súhlasom autora)